Gab1A(resumido), R

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# Detreminar aproximação para raízes do polinômio p(z)=z^5+z+1, para z número complexo.
# Superfície z=f(x,y)

x <- seq(-1,1, by=0.05)
y <- seq(-1,1,by=0.05)
mf<-function(s,r){z=s+r*1i; Mod(z^5+z+1)^2 # mf(x,y)=|p(x+iy))|^2 função a ser minimizada.
}

require(grDevices) # for trans3d
z <- outer(x, y, mf)
z[is.na(z)] <- 4
op <- par(bg = "white")
persp(x, y, z, theta = 60, phi = 20, expand = 1)
contour(x,y,z,levels=c(0.5,1))

#
persp(x, y, z, theta = 60, phi = 20, expand = 1)->res # Gráfico de mf(x,y)

# Método de Euler para resolver a equação u'(t)=-grad f(u(t)), e(0)=(1,1), para aproximar valor mínimo de mf(x,y).

gradmf<-function(u){ # gradiente de mf(x,y)
s=u[1]
r=u[2]
h=10^(-5)
dnfx= mf(s+h,r)-mf(s-h,r)
dnfy=mf(s,r+h)-mf(s,r-h)
c(dnfx,dnfy)/(2*h)
}

t0=0  # tempo inicial
tf=1  # t final 
e0=c(1,1) # condição inicial 
mf(e0[1],e0[2]) # teste da escolha
n=10000         # Número de passos
h=(tf-t0)/n  # Tamanho do passo

tt=seq(t0,tf,by=h)

Y=matrix(0,2,length(tt))
Y[,1]=e0

for ( i in 1:(length(tt)-1)){  # Método de euler
Y[,i+1]=Y[,i]-h*gradmf(Y[,i])
}

print("Aproximação para o ponto de mínimo"); Y[,length(tt)]
print("Aproximação para o valor mínimo"); mf(Y[1,length(tt)],Y[2,length(tt)])

lines(trans3d(Y[1,],Y[2,],mf(Y[1,],Y[2,]), res), col = "blue", lwd = 2) # Inclui curva no gráfico 3d.

plot(Y[1,],Y[2,],col="blue")  # Caminho seguido na aproximação.

plot(tt,mf(Y[1,],Y[2,]), col = "blue") # Caminho seguido pela função mf na aproximação.

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