AjusteLinearizado-11-01-21-pacotematriz, R

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# Ajuste de curvas por mínimos quadrados.

# Dados os vetores x e y, supomos que y_i=f(x_i)+erro_i, como erro_i um erro "pequeno".
x=seq(-5,5,by=0.5);x  
n=length(x)
y=y=c(76.8, 66.3, 56.4, 47.2, 38.9, 31.4, 24.4, 17.84, 11.1, 3.7, -0.2, 4.1, 11.21, 17.6, 24.1, 31.3, 39.0, 47.33, 56.53, 66.13, 76.73)

plot(x,y,col="red")

z=exp(20*x^2/y)   # Linearização
plot(x,z,col="red")
# Por alguma experiência em lidar com dados, supomos ainda que
# f_u(s)=20*s^2/(log(as^4+b2*s^2+c)), linearizada para f_u(s)=as^4+b2*s^2+c,
# em que u=(a, b, c) é o vetor de parâmetros desonhecidos.
# Para determinar os valores dos parâmetros resolvemos o problema de minimização 
#
#        min g(u)
# 
# em que g(u)= sum (y_i-f_u(x_i))^2, sendp u=(a,b,c).
# 
# Para fazer isso usamos o método de Euler para resolver a equaçõ diferencial 
#
#      u'(t)=-grad g(u(t))
#      u(0)=u_0

# Seguem os comando para as definições de funções necessárias.
A=matrix(0,21,3)

for ( i in 1:21){A[i,]=c(x[i]^4,x[i]^2,1)}
A

u=solve(t(A)%*%A,t(A)%*%z)     # Resolve A*Au=A*v

# Teste de g(u0).

print("Aproximação"); u     # Aproximadamente u(t)
                  # Teste de minímo aproximado

# Definição da aproximação de f(u) linearizada.

fap<-function(s){ u[1]*s^4+u[2]*s^2+u[3] }

curve(fap,-5,5)
points(x,z,col="red")        # Teste de ajuste.

plot(x,z-fap(x),'l')

# Definição da aproximação de f(u).

fap<-function(s){20*s^2/(log(u[1]*s^4+u[2]*s^2+u[3]))}

curve(fap,-5,5,ylim=c(0,78))
points(x,y,col="red")        # Teste de ajuste.

plot(x,y-fap(x),'l')

# Se quiser pode aumentar t e n ou escolher outra condição inicial 
# para se convencer do resultado obtido.

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