Integracao-Interpolacaa, R

Integracao-Interpolacaa

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# Calcule a integral da função f(s), no intervalo [0,1], com precisão de três casas decimais exatas.

f<-function(s){log(s^2*sin(s) + cos(s))+1}
curve(f,0,1)

x=seq(0,1,by=0.2);x
y=f(x);y

points(x,y)  # Supomos y=f(x) e que f(x_i)=p(x_i), em que p(s)=a_0+a_1s+a_2s^2+a_3s^3+a_4s^4 é um polinômio.

##----- Sistema linear e QR, por exemplo.

# Podemos resolver esse problema resolvendo o sistema linear 
# Au=y
# em que a matriz A tem coluna i dada pelo vetor (1,x_i,x_i^2,...,x_i^(n-1)).

n=length(x)
A=matrix(0,n,n)

for ( i in 1:n){
for (j in 1:n){
A[i,j]=x[i]^(j-1)
}
}

# A=QR, então Au=y torna-se Ru=t(Q)y
# ---------------Processo de ortogonalização de Gram-Schmdit

pe<-function(u,v){ # Dados os vetores u e v, somo o produto de cada coordenada de u com a respectiva cooordenada de v.
n=length(u)
p=u[1]*v[1]
for ( i in 2:n){p=p+u[i]*v[i]}
p
}

mod<-function(u){sqrt(pe(u,u))}  # módulo de u

proj<-function(u,v){pe(u,v)*v}  # Projeção de u sobre v (ortogonal), com norma de v igual 1

GramS<-function(A){  # Ortogonliza as colunas de A
n=length(A[1,])

Q=0*A

Q[,1]=A[,1]/mod(A[,1])

for (i in 2:n){
p=A[,i]
for (j in 1:(i-1)){
p=p-proj(A[,i],Q[,j])
}
Q[,i]=p/mod(p)
}

Q
}

Q=GramS(A); print("Matriz Q"); Q

t(Q)%*%Q      # Teste de ortogonalização

R=t(Q)%*%A; print("Matriz R"); R

#------ Resolução de sistema triangular Ru=t(Q)v.

TSup<-function(A,b){
p=0*b; n=length(b)
p[n]=b[n]/A[n,n]
for (i in (n-1):1){
q=b[i]
for (j in n:(i+1)){
q=q-A[i,j]*p[j]
}
p[i]=q/A[i,i]
}
p
}

v=t(Q)%*%(y);v
u=TSup(R,v)
#---------------------------------------------------------------------------------------

print("Soulução") ; u

poli<-function(s){
q=u[1]
for (i in 2:n){q=q+u[i]*s^(i-1)}
q
}

curve(poli,min(x),max(x))                           # Teste de ajuste
points(x,y,col="red")

Intpoli<-function(s){                                # Aproximação da integral 
q=u[1]*s
for (i in 2:n){q=q+u[i]*s^i/i}
q
}

print("Aproximação da integral"); Intpoli(1)-Intpoli(0)

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[1] 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 [1] 0.00000000 -0.01205907 -0.01677194 0.02820537 0.14480538 0.32336767 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 1 0.0 0.00 0.000 0.0000 0.00000 [2,] 1 0.2 0.04 0.008 0.0016 0.00032 [3,] 1 0.4 0.16 0.064 0.0256 0.01024 [4,] 1 0.6 0.36 0.216 0.1296 0.07776 [5,] 1 0.8 0.64 0.512 0.4096 0.32768 [6,] 1 1.0 1.00 1.000 1.0000 1.00000 [1] "Matriz Q" [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 0.4082483 -0.5976143 0.5455447 -0.3726780 0.1889822 -0.06299408 [2,] 0.4082483 -0.3585686 -0.1091089 0.5217492 -0.5669467 0.31497039 [3,] 0.4082483 -0.1195229 -0.4364358 0.2981424 0.3779645 -0.62994079 [4,] 0.4082483 0.1195229 -0.4364358 -0.2981424 0.3779645 0.62994079 [5,] 0.4082483 0.3585686 -0.1091089 -0.5217492 -0.5669467 -0.31497039 [6,] 0.4082483 0.5976143 0.5455447 0.3726780 0.1889822 0.06299408 [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1.000000e+00 -5.777983e-16 1.108779e-15 -3.377132e-15 1.211028e-14 [2,] -5.777983e-16 1.000000e+00 1.794467e-15 -4.626382e-15 7.983109e-15 [3,] 1.108779e-15 1.794467e-15 1.000000e+00 -3.324969e-14 1.576069e-13 [4,] -3.377132e-15 -4.626382e-15 -3.324969e-14 1.000000e+00 1.378039e-12 [5,] 1.211028e-14 7.983109e-15 1.576069e-13 1.378039e-12 1.000000e+00 [6,] -4.606632e-14 2.726256e-14 -6.040171e-13 -1.201599e-11 -1.395131e-10 [,6] [1,] -4.606632e-14 [2,] 2.726256e-14 [3,] -6.040171e-13 [4,] -1.201599e-11 [5,] -1.395131e-10 [6,] 1.000000e+00 [1] "Matriz R" [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 2.449490e+00 1.224745e+00 8.981462e-01 7.348469e-01 6.394801e-01 [2,] -1.443290e-15 8.366600e-01 8.366600e-01 7.965003e-01 7.563407e-01 [3,] 2.775558e-15 2.775558e-15 2.444040e-01 3.666061e-01 4.329443e-01 [4,] -8.271162e-15 -7.993606e-15 -1.504352e-14 6.439876e-02 1.287975e-01 [5,] 2.967071e-14 2.153833e-14 5.612177e-14 1.618150e-13 1.451384e-02 [6,] -1.128403e-13 -3.365364e-14 -1.662004e-13 -1.007402e-12 -3.842829e-12 [,6] [1,] 0.578079579 [2,] 0.723065500 [3,] 0.471350643 [4,] 0.181747605 [5,] 0.036284589 [6,] 0.002418973 [,1] [1,] 0.1908754322 [2,] 0.2548716239 [3,] 0.1569377568 [4,] 0.0252584717 [5,] -0.0098279110 [6,] -0.0007043709 [1] "Soulução" [,1] [1,] 1.021409e-13 [2,] 6.245209e-03 [3,] -5.548789e-01 [4,] 1.112363e+00 [5,] 5.082409e-02 [6,] -2.911860e-01 [1] "Aproximação da integral" [1] 0.05788761