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Gab1B-nb
# Ajuste de curvas por mínimos quadrados. # Dados os vetores x e y, supomos que y_i=f(x_i)+erro_i, como erro_i um erro "pequeno". x=seq(1930,2010,by=10) x=(x-1930)/10 x # Mudança de escala n=length(x) y=c(0.63,0.76,0.92,1.1,1.2,1.3,1.5,1.7,1.9) n=length(x) plot(x,y,col="red") # Suponha que y=f(x) (aproximado) e que f(s)= ace^(as)/(1+bce^(as)) e f'(s)=(a-bf(s))f(s). Descobrir aproximações para a, b e c. # # Note que f(0) nos dá c, caso conhecermos a e b. # # Para determinar os valores dos parâmetros resolvemos o problema de minimização # # min g(u) # # em que g(u)= sum (y_i-f(x_i))^2, sendo u=(a,b,c(a,b)). # # Para fazer isso usamos o método de Euler para resolver a equaçõ diferencial # # u'(t)=-grad g(u(t)) # u(0)=u_0 # Seguem os comando para as definições de funções necessárias. g<-function(u){ # função g(u) a=u[1];b=u[2]; c=u[3] p=0 for (i in 1:n){ p=p+( y[i]-a/( b+c*exp(-a*x[i]) ) )^2 } p } # Teste do código para g(u). g(c(1,2,1)) gradng<-function(u){ # função gradiente de g(u). h=0.00001 p=0*u m=length(u) for ( i in 1:m){v=u; v[i]=u[i]+h;p[i]=g(v)-g(u)} p/h } # Teste da função gradg(u) gradng(c(1,2,1)) #---- Início da rotin para o método de Euler. ZeroEuler<-function(u0,t,m){ w=u0 h=t/m for (i in 1:m){w=w-h*gradng(w)} w } u0=c(1,1,1) g(u0) u=ZeroEuler(u0,40,400000) #--------------------------------------------------------------------------------------- print("Soulução"); u # Aproximação para u que minimisa |Au-v|^2. a=u[1]; b=u[2]; c=u[3] print(" Resíduo da aproximação"); g(u) print("Gradiente no ponto aproximado"); gradng(u) print("Parâmetros a, b e c d encontrados"); a;b;c fapmv<-function(s){a/(b+c*exp(-a*(s-1930)/10))} # Aproximação da função linearizada. print("Gráfico para ajuste") curve(fapmv,1930,2010) # Teste de ajuste points(seq(1930,2010,by=10),y,col="red") print("População estimada em 2021");fapmv(2021)
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