Área de parábolas via séries de Arquimedes e Cálculo, R

Área de parábolas via séries de Arquimedes e Cálculo

# O objetivo é determinar o cálculo de uma área de um segmento de parábola, delimitado por um arco parabólico
# AB e um segmento retilíneo AB. Arquimedes obteve a seguinte fórmula:

# S = (4/3)So , onde S denota a área sob a parábola 
# e So denota a área do triângulo inscrito sob a parábola. Este resultado foi obtido através de uma série geométrica. 
# Para ver o processo e imagem do método com a parábola, ver:
# Geraldo Ávila, "Várias faces da Matemática", tópicos para licenciatura e letura geral. Página 163 - 165.

# É definido um triângulo com três pontos dentro da parábola e a partir da divisão de vários segmentos, 
# novos triângulos são formados aproximando a área do arco de parábola. Vamos comparar o método obtido por Arquimedes
# e via Cálculo (Áreas entre duas curvas)

# Definimos duas funções:

fx  <- function (x) -x^2 # Parábola

f.x <- function(x) -x^2 + 9 # Via cálculo (para comparar)

# Graficando a função e o triângulo de coordenadas (0,0) , (-3, -9) e (3,-9):

plot(fx, -3,3, col = "red3",ylim = c(-12,0))
abline(v=0,h=0)
points(-3,-9, col = "purple",pch = 19, cex = 0.8)
points(3,-9, col = "purple",pch = 19, cex = 0.8)
points(0,0, col = "purple",pch = 19, cex = 0.8)
segments(-3,-9,0,0,col = "purple")
segments(3,-9,0,0,col = "purple")
segments(-3,-9,3,-9,col = "purple")

# Conjunto de pontos do triângulo ABC, 
# A(0,0) , B(-3,-9) e C(3,-9):

pontos <- c(0,0,-3,-9,3,-9)

# Função para calcular a área do triângulo via Determinante  e a área sob a parábola:

area.parabola <- function (v){
aux = c(v[1],v[2],1,v[3],v[4],1,v[5],v[6],1)
M = matrix (aux,3,3,byrow = T)
So = (1/2)*det(M)
area.p = (4/3)*So
return(area.p)
}

# Área via Arquimedes
area.parabola(pontos)

# Via Cálculo: 
# Aqui via Cálculo sabemos que temos que encontrar os limites de integração. Para isso igualamos as duas funções: -x^2 = -9 
# resultando em x = ±3. Como a parábola é simétrica em relação á origem escolhi x=3 e o intervalo fica [0,3]. Pelo cálculo 
# a integral para a área entre as duas curvas é integral de x^2 + 9 dx. Pelo fato de simetria a área será duas vezes a integral 
# de 0 a 3 dessa função pois nos dará a área completa:

2*integrate(f.x,0,3)$value

# Percebe-se que os resultados batem ! O que é bastante interessante , visto que os matemáticos da época não tinham um suporte computacional 
# como temos hoje e técnicas mais sofisticadas.


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