24-08-2020-GradConj, R

24-08-2020-GradConj

# Resolvendo o sistema linear Au=v pelo método dos gradientes.

c=c(8, 1, 1, 0, 2, 20, 9, 2, 1, 1, 2, 1, 11,2, 0, 3, 2, 1, -8, 1, 2, 1, 2, 3, 10)
A=matrix(c,5,5,,byrow=TRUE); A   # Entrada da matriz A
v=c(1,2,3,4,5); v                # Entrada do vetor v

B=t(A)%*%A; B; b=t(A)%*%v;b      # Adaptando o sistema para A*Au=A*v, ou Bu=b, em que B=A*A é positiva definida e b=A*v.

n=5
u=c(1,1,1,1,1)                   # u0
w=B%*%u-b                        # w0=grag(u0)
d=w                              # d1
h= t(w)%*%w /(t(B%*%w) %*%w)     # Escolha de h0
u=u-h[1]*w                       # u1
w=B%*%u-b

for ( j in 1:(n-1)){
a= t(B%*%d) %*%w/(t(B%*%d) %*%d) # Escolha de alpha
d=w-a[1]*d                       # w - projeção ortogonal de w na direção de d
bt= t(d) %*%w/(t(B%*%d) %*%d)    # Escolha de beta
u=u-bt[1]*d                       # (quase) Método de Euler u_{n+1}=u_n-h (w_n-proj_d(w_n))
w=B%*%u-b                        # gradg(u_n)   
}
u                                # Aproximação para u(t), sendo t a soma dos passos h.
A%*%u-v                          # Verificação do erro de aproximação.


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